Daniel Bernoulli i jego najsławniejsze równanie

Opisując działanie różnych urządzeń, materiałów i zjawisk często pomijamy równanie, które się za nimi kryją. W końcu to nie studia ani nawet szkoła podstawowa. Tymczasem naukowcy i inżynierowie wiedzą jaka potęga kryje się za najprostszymi z równań i wykorzystują je na co dzień. Często dodatkowo je komplikując i udziwniając, aby osiągnąć jeszcze lepsze efekty i opis otaczającej nas rzeczywistości. Dzisiaj opowiemy sobie o jednym z najbardziej elementarnych równań w mechanice płynów o równaniu Bernoullego (czytamy Bernuljego).

Daniel Bernoulli i jego najsławniejsze równanie

Matematyk, fizyk, anatom, biolog, ekonomista i wielki człowiek. To jedne z wielu rzeczy, które da powiedzieć się o Danielu Bernoullim szwajcarze żyjącym w XVIII wieku. Zajmował się wieloma dziedzinami nauki i praktycznie we wszystkich odniósł spektakularny sukces. W dziedzinie fizyki i matematyki zajmował się drganiami strun, równaniem zachowania energii. Pracował nawet z Eulerem nad zginaniem pręta. Jednak jego niewątpliwie największym osiągnięciem było opracowanie równania, które dziś znamy pod nazwą równania Bernoullego.

Równanie Bernoullego ma zastosowanie wszędzie tam gdzie mówimy o nieściśliwych płynach newtonowskich (o płynach nienewtonowskich pisałem tu). Jednak jakie płyny są nieściśliwe? W zasadzie wszystkie płyny jak na przykład woda. Dodatkowym wymogiem na zastosowanie równia Bernoullego jest uzyskanie przepływu stacjonarnego, czyli takiego, którego prędkość przepływu pozostaje niezmienna. Jednak co tak naprawdę opisuje równie Bernoullego i ile można z niego wyczytać?

Równanie Bernoullego

Ja osobiście postrzegam to równanie jako najprostsze równanie energii, a jak wiemy ‘ilość’ energii zawsze musi być stała (stąd właśnie constans po znaku równości). Pierwszy człon – gęstość płynu pomnożona przez średnią prędkość podniesioną do kwadratu, iloczyn ten następnie dzielmy przez 2 – to energia kinetyczna ciała (w tym przypadku płynu). Człon drugi – iloczyn przyśpieszenia grawitacyjnego, gęstości cieczy i wysokości na jakiej znajduje się oś rury lub poziom cieczy w zbiorniku –odpowiada za energię potencjalną, tą związaną z wysokością na jakiej znajduje się obiekt. Oraz człon ostatni związany z ciśnieniem jaki panuje w cieczy – jest to ciśnienie atmosferyczne w przypadku otwartych zbiorników lub nadciśnień/podciśnienie w przypadku zbiorników zamkniętych. 

Równanie to zawsze musi być równe co do wartości. Oznacza to, że jeżeli z jakiegoś powodu w czasie przepływu rośnie nam prędkość to coś musi zmaleć. Ponieważ energii potencjalnej płynu nie zmienimy to maleje jego ciśnienie. Zjawisko to wykorzystuje wiele urządzeń na przykład pompka wodna wykorzystywana w laboratoriach chemicznych. Woda przepływająca przez specjalnie ukształtowaną dyszę zwiększa swoją energię kinetyczną, a więc jej ciśnienie maleje. Ponieważ na zewnątrz panuje ciśnienie większe niż ciśnienie wody powietrze z otoczenia zostaje zassane.

Do powyższego równania można dopisać co najmniej kilka dodatkowych wzorków. Straty energii wynikające z przepływu przez rurociąg, gęstość energii pozwalającą na zastosowanie równia dla płynów ściśliwych lub inne. Jednak co z tego jeżeli przeciętny użytkownik i tak nie potrafi zastosować go w praktyce dla zwykłego laika.

Wyobraźmy sobie akwarystę czyszczącego akwarium. Aby to zrobić musi opróżnić akwarium z wody, jednak jak przechylić 200 litrowe? Prostym sposobem na to jest wykorzystanie wężyka, którego jeden koniec umieszczamy w akwarium, a drugi w misce poniżej. Pochylamy się zasysamy wodę ustami i… gasimy pragnienie osiągając jednak pełen sukces. Nie polecam. Łatwiejszą metodą jest zanurzenie węża w wodzie, zatkanie palcami jego wylotów, wyjęcie jednego końca z akwarium i umieszczenie go nad miską. Następnie odtykamy końce węża i woda pięknie spływa z akwarium do naszej miski

Rozważmy tę sytuację z punktu widzenia równania Bernoullego. Musimy przyrównać tu dwa stany – wodę w akwarium i wodę wylatującą z końca wężyka. Woda w akwarium nie porusza się, jednak znajduje się wyżej niż wylot z wężyka (chodzi to o różnicę wysokości między taflą wody, która będzie się obniżać w miarę opróżniania akwarium i wylotem wężyka o ile ten nie jest zanurzony w wodzie). Natomiast woda wypływająca z wężyka ma pewną prędkość jednak znajduje się niżej o powiedzmy 0,5 metra. Wiecie już skąd pochodzi energia kinetyczna wypływającej wody? Oczywiście to różnica wysokości zamieniana jest na prędkość wody i wynika z tego, że im większa ona będzie tym szybciej będzie płynąć woda i tym prędzej opróżnimy akwarium. Najkorzystniejszym posunięciem byłoby więc użycie długiego węża, który zwiesimy przez okno 10 pięter w dół. Oczywiście taki waż ma też swoje opory wynikające z tarcia, które dodatkowo trzeba by uwzględnić, jednak i tak efekt byłby oszałamiający. Co ciekawe wąż, ten może być podwieszony nawet 15 metrów nad akwarium i o ile jego wylot znajduje się niżej niż tafla wody woda będzie płynąc.

Ciekawostka! Innym sposobem na zmuszenie wody do płynięcia przez wężyk jest zwiększenie ciśnienia w akwarium. Sprawa niełatwa. Jednak jeżeli pomyślimy o benzynie w kanistrze to… wystarczy odpowiednio przykryć wlot dłońmi i dmuchnąć do środka. Nadciśnienie samo wypchnie benzynę z kanistra.

Gdzie jeszcze wykorzystujemy równanie Bernoullego? Jest tego całkiem sporo kanały wentylacyjne, rurociągi, dobór pomp, dysza De Lavala, efekt Magnusa, palnik Bunsena, obliczanie siły nośnej i wiele, wiele innych, ale to już zajęcie dal ludzi z czystym akwarium.